[회로이론] 합성저항

하나의 회로에 여러 개의 LED가 연결되어 있거나, 저항이 여러 개 연결된 복잡한 회로의 경우, 도선 전체에 흐르는 총 전압과 전류를 어떻게 계산해야 할까요?

 

예를 들어, 한 회로에 여러개의 LED를 직렬로 연결하면 LED에 걸리는 전압이 분배되어 원하는 밝기로 빛나지 않을 수 있습니다.

 

그리고 아두이노 GPIO 핀에 여러개의 LED를 연결했을 때 소모되는 전류를 잘못 계산하면 아두이노의 핀이 과부하로 손상될 수 있습니다.

 

또한, 원하는 값의 저항이 없는 경우에는 어떻게 회로를 구성해야 할까요?

 

이 때 필요한 것이 바로 합성저항 계산입니다. 합성저항을 이용하면 여러 저항을 하나의 등가저항으로 단순화해서 옴의 법칙(\(V=IR\))을 쉽게 적용할 수 있어, 안전하고 효율적인 회로 설계를 할 수 있습니다.

 

선수 지식

2025.08.12 - [임베디드 & 로보틱스] - [회로이론] 옴의 법칙

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합성저항

합성 저항은 회로에 여러 저항이 연결된 경우, 전체 저항을 하나의 등가저항으로 단순화하여 계산하는 개념입니다.

여러개의 저항을 하나의 등가저항으로 단순화 하면 옴의 법칙(V=IR)을 쉽게 적용할 수 있습니다.

아두이노와 같이 임베디드 프로젝트에서 LED나 센서를 다룰 때 전류/전압을 정확히 예측하는 데 필수적입니다.

합성저항은 주로 직렬 합성저항과 병렬 합성저항으로 나뉩니다.

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직렬 합성저항

아래의 이미지와 같이 여러개의 저항이 일렬로 연결된 경우입니다. 등가저항은 각 저항의 합으로 계산 됩니다. 전류는 모든 저항에 동일하게 흐르고, 전압은 각 저항에 비례하게 분배 됩니다.

• 공식 :  \( R_{total} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \)
• 특징 : 총 전압이 각 저항에 분배됩니다. (전압 분배 법칙 적용: 각 저항의 전압 \(V_i = I \cdot R_i \) 여기서 \(I\) 는 총 전류)

 

예시 회로를 단순화하고 계산하면 아래와 같습니다.

단순화된 등가저항은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\(R_t = R_1 + R_2\)

\(R_t = 20 Ω + 30 Ω = 50 Ω\)

 

회로에 흐르는 전류는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\(V = IR → I = \frac {V}{R}\)

\(I = \frac {5 V}{50 Ω}  = 0.1A\)

 

각 저항에 흐르는 전압은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\(V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V\)

\( V_1 = \frac{20}{20 + 30} \cdot 5 = 2 V\)

 

\(V_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot V\)

\(V_2 = \frac{30}{20 + 30} \cdot 5 = 3 V\)

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병렬 합성 저항

아래의 이미지와 같이 여러개의 저항이 나란히 연결된 경우 입니다. 전압은 모든 저항에 동일하게 걸리고, 등가저항은 각 저항의 역수를 합한 후 역수를 취합니다.

• 공식: \( \frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \)
• 특징 : 총 전류가 각 저항으로 분배됩니다. (전류 분배 법칙 적용 : 각 저항의 전류 \(I_i = V/R_i\), 여기서 \(V\)는 총 전압). 총 저항은 가장 작은 저항보다 작아짐.

예시 회로를 단순화하고 계산하면 아래와 같습니다.

단순화된 등가저항은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\( \frac{1}{R_t} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \)

\( R_t = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \)

\( R_t = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} \)

\( R_t = \frac{600}{50} = 12 \)

 

회로에 흐르는 전류는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\( I_t = \frac {V}{R_t} \)

\( I_t = \frac {5}{12} = 0.4166667\)

 

각 저항에 흐르는 전류는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.(각 저항에 걸리는 전압은 동일하다는 것을 명심!)

\( I_1 = \frac {V}{R_1} \)

\( I_1 = \frac {5}{20} = 0.25 \)

\( I_2 = \frac {V}{R_2} \)

\( I_2 = \frac {5}{30} = 0.166667 \)

 

따라서 회로에 흐르는 전체 전류는 각 저항에 흐르는 전류의 합과 동일함을 알 수 있습니다.

\( I_t = I_1 + I_2 = 0.25 + 0.166667 = 0.4166667\)

 

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연습 문제

문제 1.

 

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문제 2.

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문제 3.

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문제 4.

 

그렇다면 직병렬 LED 회로는??

1. 직렬 LED 회로에 사용할 저항 구하기

 

• LED의 순방향 전압 \(V_f \)는 모두 2V라고 가정
• LED의 최대 순방향 전류는 20mA로 가정

1. 저항에 걸리는 전압 계산

\(V_{R_1} = V_s - V_{LED1} - V_{LED2} \)

\(V_{R_1} = 5 - 2 - 2 = 1 \)

 

2. 저항에 걸리는 전압과 순방향 전류를 토대로 저항 계

\(R_1 = \frac{V_{R_1}}{I} = \frac{1}{0.02} = 50\)

즉, 50 Ω 이상의 저항을 사용하면 됩니다.

 

2. 병렬 LED 회로에 사용할 저항 구하기

• LED의 순방향 전압 \(V_f \)는 모두 2V라고 가정
• LED의 최대 순방향 전류는 20mA로 가정

사실 병렬 회로의 경우에는 오히려 계산이 간단합니다.

왜냐하면 병렬회로에 걸리는 전압은 서로 동일하기 때문이죠.

\(V_R = V_s - V_LED = 5- 2 = 3 \)

\(R = \frac{V_r}{I} = \frac{3}{0.02} = 150 \)

따라서 두 LED 모두 150Ω 이상의 저항을 사용하면 됩니다.